حسابان کسری برای اولین بار حدود سیصد سال پیش همزمان با ظهور مباحث حسابان معمولی مطرح گردید. اولین استفاده از حسابان کسری به احتمال زیاد در آثار لایبنیز و هوپیتال در سال ۱۶۹۵ انجام پذیرفته است که در آن به مشتق با مرتبه نیم اشاره گردیده است. همچنین در یکی از مکاتبات بین یوهان برنولی و لایبنیز در ۱۶۹۵، لایبنیز به مشتق مرتبه عمومی اشاره نموده است. در سالهای ۱۷۳۰ و ۱۷۷۲ دانشمندان مطرحی همچون اویلر و لاگرانژ بطور غیر مستقیم به مباحث حسابان کسری پرداخته‌اند. در سال ۱۸۱۲ لاپلاس مشتق مشتق مرتبه کسری را با استفاده از انتگرال تعریف نمود. در سال ۱۸۱۹ و ۱۸۲۲ لاکرویکس و فوریه مشتق با مرتبه دلخواه را در آثارشان ذکر نمودند. اولین استفاده از عملگرهای کسری در سال ۱۸۲۳ توسط آبل در پاسخ به مسئله خم هم‌زمانی استفاده گردید. لیوویل در سال ۱۸۳۲ اولین کار عمده خود را بر روی حسابان مرتبه کسری انجام داد که در آن تعاریف خود را بر روی مسائل تئوری اعمال نمود. گرونوالد در ۱۸۶۷ بر روی عملگرهای کسری کار کرد. ریمان طی تحصیل خود انتگرال‌گیری مرتبه کسری را توسعه داده و در سال ۱۹۸۲ در قالب یک مقاله نتایج خود را منتشر نمود. لتنیکوو بین سالهای ۱۸۶۸ تا ۱۸۷۲ مقالات متعددی در مورد این موضوع منتشر نمود. بین سالهای ۱۹۰۰ تا ۱۹۷۰ روند مطالعه بر روی حسابان مرتبه کسری توسعه یافت و دانشمندان متعددی بر روی این مبحث تمرکز نمودند. در حال حاضر کاربردهای حسابان کسری برای مدلسازی دقیق‌تر پدیده‌های طبیعی که قبل‌تر با حسابان مرتبه صحیح مدل شده‌اند، رو به گسترش می‌باشد. پدیده‌های طبیعی اکثرا کسری می‌باشند ولی با این حال میزان کسری بودن اکثر آنها بسیار اندک است. یک مثال متداول برای سیستمهای مرتبه کسری رابطه جریان و ولتاژ در خطوط انتقال نیمه‌بینهایت یا انتشار گرما در یک جسم صلب نیمه‌بینهایت می‌باشد.
دلیل عمده‌ای که تا کنون مانع از توسعه مدلهای مرتبه کسری شده‌است نبودن روشهای حل برای معادلات دیفرانسیلی مرتبه کسری می‌باشد. در حال حاضر روشهای مختلفی برای تقریب مشتق و انتگرال مرتبه کسری در طیف وسیعی از کاربردها مورد استفاده قرار می‌گیرد. از بین این کاربردها حسابان کسری در مباحث فیزیک، مهندسی برق، سیستمهای کنترل، روباتیک، پردازش سیگنال، مهندسی پزشکی و … نقش عمده‌ای به خود اختصاص داده است. همچنین یکی از مهمترین کاربردهای حسابان کسری در مباحث مربوط به نظریه آشوب می‌باشد.
در ادامه به معرفی کتابخانه‌های موجود برای شبیه‌سازی حسابان مرتبه کسری و کنترل سیستمهای مرتبه کسری در متلب پرداخته می شود:
جعبه‌ابزار FOMCON
FOMCON جعبه ابزار توسعه داده شده برای نرم افزار متلب جهت شبیه سازی سیستمهای مرتبه کسری، طراحی کنترلر و شناسایی این سیستمها می‌باشد. این جعبه ابزار دارای رابط کاربری برای برخی وظایف طراحی و شناسایی می‌باشد که کار با آن را تسهیل نموده است.
جعبه‌ابزار CRON
توسعه جعبه ابزار کرون از سالهای ۱۹۹۳ و ۱۹۹۴ آغاز شده و هر یک از ابزارهای موجود در آن به شکل جداگانه برای مسائل منفرد از حسابان و سیستمهای کسری ارائه گردیده است. در ابتدا این ابزارها با زبان برنامه‌نویسی پاسکال و در محیط MS DOS توسعه داده شده بودند ولی بعدها برای نرم‌افزار متلب بازنویسی شدند. ابزار موجود در کرون در سه دسته طبقه‌بندی می‌گردد:
- ابزارهای ریاضی: ابزارهایی برای محاسبه مشتق غیر صحیح (مرتبه کسری)، معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری، معادلات مشخصه مرتبه کسری، اپراتورهای دیفرانسیلی مرتبه کسری پیچیده، سیستمهای مرتبه کسری و تبدیل عکس لاپلاس توابع تبدیل مرتبه کسری
- ابزار شناسایی سیستمهای مرتبه کسری
- ابزار کنترلی کرون
لازم به ذکر است بیشتر این ابزارها برای سیستمهای تک ورودی و تک خروجی توسعه یافته‌اند.
جعبه‌ابزار NINTEGER
NINTEGER جعبه‌ابزار ساخته شده برای نرم‌افزار متلب جهت طراحی و توسعه کنترل کننده‌های مرتبه کسری برای سیستمهای تک ورودی و تک خروجی می‌باشد. تمامی کدهای این جعبه‌ابزار به صورت باز جهت تغییر و توسعه توسط مهندسین در دسترس می‌باشد.
توابع موجود در کتابخانه Chebfun
Chebfun یک سیستم نرم‌افزاری متن باز برای محاسبات عددی با توابع می‌باشد. پایه ریاضی این کتابخانه درون‌یابی چند جمله‌ای تکه‌ای می‌باشد. Chebfun قابلیت وسیعی در کار با عملگرهای مشتقی و انتگرالی خطی و غیرخطی مختلف دارد. پایه‌های علمی استفاده شده در نوشتن این کتابخانه بهمراه مثالهای متعدد در کتابی گنجانده شده‌است. با وجود اینکه این کتابخانه برای روشهای عددی بسیار نیرومند می‌باشد، در زمینه کنترل و طراحی و توسعه کنترل کننده‌های مرتبه کسری هیچ راه حلی ندارد.
توابع متلب ارائه شده بهمراه کتاب Fractional Order Nonlinear Systems: Modeling, analysis and simulation
در کتاب Fractional Order Nonlinear Systems: Modeling, analysis and simulation، توابعی برای شبیه‌سازی سیستمهای غیرخطی مرتبه کسری ارائه شده‌است. علاوه بر آن به شبیه‌سازی سیستمهای مرتبه کسری آشوبی نیز پرداخته شده‌است.
کدهای ارائه شده در این بسته شامل پیاده سازی پایتون کدهای متلب موجود در کتاب Fractional Order Nonlinear Systems: Modeling, analysis and simulation برای شبیه سازی سیستمهای آشوبی مرتبه کسری چن و لورنز و کنترل مد لغزشی آنها مطابق مقاله
Chen, Di-yi, et al. “Control of a class of fractional-order chaotic systems via sliding mode.” Nonlinear Dynamics 67.1 (2012): 893-901.
می باشد.
محتویات بسته:
- شبیه سازی سیستم آشوبی مرتبه کسری چن chensim.py
- شبیه سازی سیستم آشوبی مرتبه کسری لورنز lorenzsim.py
- کنترل سیستم آشوبی مرتبه کسری چن با کنترل مد لغزشی FracSimu.py
- کنترل سیستم آشوبی مرتبه کسری چن با کنترل مد لغزشی در حضور اغتشاش FracSimu1.py
- کنترل سیستم آشوبی مرتبه کسری لورنز با کنترل مد لغزشی FracSimu2.py
امیدوارم از خرید این بسته نهایت رضایت را داشته باشید. با ما در تماس باشید.
برخی خروجی کدها به شکل زیر می باشد:
